Números racionais – O que são? Conjunto, Representação Decimal e Geométrica

Os números estão para a matemática assim com as letras estão para a linguagem. Eles podem ser classificados, ou agrupados em conjuntos, considerando algumas de suas propriedades. Um exemplo muito importante é o conjunto de números racionais.

A palavra racional vem de “razão“, que, com esse uso, quer dizer comparar por meio da divisão. Todavia, antes de apresentar os números racionais, é preciso ter uma breve revisão dos números naturais e dos números inteiros. Confira tudo, a seguir no Gestão Educacional!

Números racionais12

Números naturais e inteiros

No estágio das civilizações primitivas, as necessidades de contagem eram muito rudimentares, bastando a numeração que surgiu gradativa e naturalmente e que hoje representamos por 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Posteriormente, a ideia de “não-existência” foi representada pelo zero, que alguns autores aceitam como número natural. Atualmente, esses algarismos combinados representam números que formam o que denominados conjunto  dos números naturais:  = {0,1,2,3,4…}

Com o passar do tempo, os números naturais começaram a ser insuficientes diante de casos como o das operações inversas. Na subtração, por exemplo, não havia possibilidade de se efetuar a operação quando o minuendo era menor que o subtraendo, por exemplo, 5 – 7 = -2.

O número negativo não pertence ao conjunto de números naturais. Por este motivo, faz-se necessário uma ampliação do conjunto .

Os números negativos foram reunidos aos naturais, configurando o que chamamos modernamente de conjunto  dos números inteiros –  = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

Conjunto  de números racionais

A ideia de medir está ligada à de comparar, ou seja, quantas vezes uma determinada distância ou superfície é maior ou menor do que determinada unidade adotada como padrão.

Se, por exemplo, tentarmos medir a altura de um prédio com uma unidade como o metro, podemos obter, eventualmente, um número não inteiro, e estaríamos diante da ideia de uma fração de metro.

O conjunto dos números racionais, identificados por , é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros, com p e q inteiros e q ≠ 0.

 Números racionais

Em outras palavras, todo número que pode ser escrito na forma de fração, com denominador inteiros e denominador diferente de zero, pertente ao conjunto dos números racionais, que é representado pela letra , que vem da palavra quociente.

Podemos escrever, de modo mais simplificado:

Números racionais2

Desta forma, podemos definir o conjunto  como o conjunto das frações p/q. Assim, um número é racional quando pode ser escrito como uma fração p/q, com p e q inteiros e q ≠ 0.

Números racionais3

Representação decimal das frações

Tomemos um número racional p/q, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nesta divisão podem ocorrer dois casos:

(A) O número decimal obtido possui, após a virgula, uma quantidade finita de algarismos.

Exemplo:

Números racionais4

Tais número racionais são chamados exatos, isto é, um número que tem uma representação finita (número finito de casas decimais).

(B) O número decimal obtido possui uma infinidade de algarismos após a virgula. Neste caso, ocorre uma repetição de alguns algarismos.

Exemplo:

Números racionais5

Esses números racionais são chamados decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em cada um deles, os algarismos que se repetem formam a parte periódica, ou o período da dízima. Para não escrever repetidamente os algarismos de uma dízima, colocamos um traço horizontal sobre seu primeiro período.

Representação geométrica do conjunto dos números racionais

Daremos exemplos de números racionais e os localizaremos na reta numerada, que já contém alguns números inteiros assinalados, como mostra a figura:

Números racionais6Observe:

a) Todo número racional possui um oposto ou simétrico. O oposto de 2 é -2 e o oposto de 5/2 é – 5/2.

b) Entre dois números racionais distintos sempre existe um número racional. Entre 0 e 0,5 existe o número racional 0,25, que é a média aritmética de 0 e 0,5.

Entre 0 e 0,25 existe o número racional 0,125, que é a média aritmética de 0 e 0,25.Continuando com o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois números racionais distintos existem infinitos outros números racionais.

Exercícios Resolvidos

1. Represente na forma decimal:

a) 4/5 + 8/5

Resolução:Números racionais7

b) 5/16 – 16/5

Resolução:Números racionais8

 

c) 57/100

Resolução:Números racionais9

2. Obtenha o valor de y na forma decimal:Números racionais10Resolução

O truque para resolver esse exercício consistem em transformar a dízima periódica em fração, ou seja, teremos:

Números racionais11

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Pablo Diniz Batista

Graduado em Física e Filosofia, cursou mestrado e doutorado em Física Médica Aplicada à Medicina e Biologia pela Universidade de São Paulo. Atualmente, é professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico no Instituto Federal de Brasília, Campus Ceilândia, na área de Física.

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