Progressões numéricas – O que são? PA e PG, Exemplos e Exercícios

O matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, viveu na Idade Média e contribuiu com diversas pesquisas para o desenvolvimento da matemática, entre elas a constatação da sequência numérica presente em vários fenômenos naturais. Fibonacci registrou uma sequência que levaria o seu nome: ela começa por 1 e cada número seguinte é a soma dos dois números anteriores.

As sequências matemáticas podem ser escritas por uma lei de formação, como é o caso das progressões aritméticas e geométricas que veremos a seguir aqui, no Gestão Educacional.

Progressão aritmética: o que é?

Progressão aritmética é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante.

Essa diferença é chamada de razão da progressão e é representada pela letra r.

Para entendermos melhor, vamos analisar alguns exemplos.

• A sequência (2, 7, 12, 17, …) é uma progressão aritmética infinita, de razão 5.
  • O primeiro termo é chamado de a₁ = 2.
  • A razão r é dada por: r = 7- 2 = 5.
• A sequência (4, 4, 4) é uma PA de 3 termos, em que o primeiro é a₁ = 4 e a razão é r = 0
• A sequência (1, -1, 1, -1, 1, -1, …) não é uma progressão aritmética porque as diferenças entre termos sucessivos são alternadamente –2 e 2.
• A sequência (10, 4, -2, -8, …) é uma PA com r = -6

De modo geral, uma sequência é uma PA quando:

• a_n = a_n-1 + r;
• a_n – a_{n-1 =}

Termo geral de uma PA

Em uma progressão aritmética (a₁, a₂, a₃, …, a_n, …) de razão r, encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PA, da seguinte maneira: a_n = a₁ + (n-1).r – sendo:

• a₁ = 1º termo;
• a_{n =} termo geral;
• n= número de termos (até a_n);
• r = razão da PA.

Também podemos encontrar o termo geral de outra forma: a_n = a_k + (n – k).r – sendo k é o número de termos até a_k, e a_k um dos termos dessa PA.

Soma dos termos de uma PA finita

Considerando a PA finita de razão r (a₁, a₂, a₃, …, a_n-2, a_n-1, a_n), a soma dos seus n termos pode ser escrita por:Em que:

• a₁ = primeiro termo;
• a_{n =} enésimo termo;
• n= número de termos (até a_n);
• Sn é a soma dos n termos.

Propriedades da PA

• A partir do segundo termo, qualquer termo da PA é sempre igual à média aritmética entre os termos anterior e posterior dele;
• Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes é igual à soma de dois termos extremos;
• Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética dos termos extremos.

Progressão geométrica (PG)

Progressão geométrica (PG) é toda sequência de dois números não nulos na qual, a partir do segundo termo, o quociente da divisão de um termo pelo termo anterior é constante.

Esse quociente constante é chamado de razão (q) da progressão.

A diferença entre PA e PG se dá pelo modo como o próximo termo é formado:

• Em PA, somamos a razão r com um termo para obter o próximo;
• Em PG, multiplicamos a razão q com um termo para obter o próximo.

Exemplo:

A sequência (1, 3, 9, 27, …) é uma PG infinita, na qual a1 = 1 e q = 3, pois:

• a1 = 1;
• a2 = 1 . 3 = 3;
• a3 = 3 . 3 = 9;
• a4 = 9 . 3 = 27.

E assim por diante.

Fórmula do termo geral de uma PG

O termo de ordem n, denominado termo geral de uma PG, é dado por: a_n = a_{1 .} q^n-1 – sendo:

• a_n = termo geral;
• n = número de termos, até a_n;
• a₁ = 1º termo;
• q = razão.

Esse termo também pode ser dado por:  a_n = a_{k .} q^n-k – sendo k o número de termos até a_k, e a_k um dos termos dessa PA.

Soma dos n primeiros termos de uma PG finita

A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica finita de razão q ≠ 1 é dada por:

Propriedades da PG

1. O quadrado de qualquer termo de uma PG, a partir do segundo, é sempre igual ao produto do termo que o antecede pelo termo que o sucede;
2. Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes é igual ao produto dos termos extremos;
3. Se a PG tiver número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos termos anteriores.

Exercício resolvido

1) Determine o valor de x de modo que os números x+1, x+4 e x+10 formem, nessa ordem, uma PG.

RESPOSTA:

Como são três termos consecutivos, temos:

(x+4)² = (x+1)(x+10)

X² + 8x + 16 = x² + 11x + 10

3x = 6

X = 2

Logo, o valor procurando é x = 2 e os números são 3, 6, 12.