Sistemas de equações – Método da adição e substituição e Exercícios

Um sistema de equações é um conjunto de equações que possuem no mínimo duas incógnitas diferentes. Nesse sistema, o valor atribuído para cada uma das incógnitas deve satisfazer todas as equações ao mesmo tempo.

Utilizamos esse tipo de sistema em diversas situações do nosso dia a dia, principalmente os sistemas de primeiro grau. Quando dizemos que ele conta com grau 1, estamos afirmando que todas as incógnitas têm expoente 1 e que não existe nenhuma multiplicação entre elas, ou seja, um sistema formado por uma equação do tipo x² – xy – 2y³ não será estudado nesse momento.

Como usar sistemas de equação?

Imagine as seguintes situações:

1) Dois amigos conversam e falam sobre quanto gastaram em uma lanchonete. A garota diz: “Comi 3 pastéis e tomei 2 caldos de cana. Gastei R$11,50”. Seu amigo então responde: “Comi 1 pastel e tomei 1 caldo de cana. Gastei R$4,50”.

Existe alguma maneira de descobrir quanto custa o pastel e quanto custa o caldo de cana?

A resposta para essa questão é sim. Em situações parecidas, usaremos um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas. Para resolver esse tipo de sistema, utilizamos geralmente dois métodos: o método da adição e o método da substituição. Conheça-os a seguir.

Método da adição

Resolvendo o problema que citamos anteriormente, vamos chamar o preço do pastel de x e o preço do caldo de cana de y.

Se o menino consumiu 1 pastel e um caldo de cana e gastou R$4,50, vamos escrever: x + y = 4,5. De modo análogo, sobre o consumo da menina, iremos escrever: 3x + 2y = 11,5.

Com essas duas equações, iremos então montar o sistema.Para resolve-lo, precisamos logo de início eliminar uma das incógnitas. Para isso, basta multiplicar a primeira equação por (-2) para eliminar a incógnita y ou por (-3) para eliminar x.

Vamos então multiplicar por (-2) a primeira equação, obtendo: -2x –2y = – 9.

Agora, basta somar as equações:Substitua esse valor de x em alguma das equações para enfim encontrar o valor de y.  Geralmente, usamos o que possui os menores coeficientes acompanhando as incógnitas, para facilitar os cálculos.

x + y = 4,5

2,5 + y = 4,5

Y = 4,5 – 2,5

Y = 2,0

Sabemos, então, que o pastel custa R$ 2,50 e o caldo de cana R$ 2,00.

Método da substituição

Vamos continuar resolvendo o sistema do exemplo acima, porém agora pelo método da substituição.

O primeiro passo é isolar uma das incógnitas em qualquer uma das duas equações. Geralmente, fazemos isso na equação que possui os menores coeficientes acompanhando as incógnitas, para facilitar os cálculos. Ou seja, faremos isso da seguinte maneira:

X + y = 4,5.

Y = 4,5  –  x [isolando y]

Agora, vamos trabalhar com a segunda equação. Substituiremos o valor de y nela por (4,5 – x). Assim, teremos apenas uma incógnita (que no caso é x) e já sabemos como encontrar os valores de equações com apenas 1 incógnita.

3x + 2y = 11,5

3x + 2.(4,5 – x) = 11,5

3x + 9 – 2x = 11,5

X = 11,5 – 9

X = 2,5

Agora, para descobrir o valor de y, basta substitui-lo na equação que usamos anteriormente:

X + y = 4,5

2,5 + y = 4,5

Y = 2.

Ou seja, para fazer esse método, vamos trabalhar com duas equações: equação (I) e a equação (II). Vamos isolar uma das incógnitas. Nesse caso, escrevemos y em função de x na equação (II). Esse valor substitui y na equação (I), de modo que fique apenas a incógnita x.

Exercícios resolvidos

1) Leia o enigma proposto em um programa de rádio:

“Nós dois juntos temos 35 maçãs. Você tem 2/5 do que eu tenho. Quantas maças eu tenho?”

Você pode usar outros recursos para resolver esse problema, porém, tente resolve-lo usando um sistema de equações.

RESPOSTA

Chamando de x a quantidade de maçãs que eu tenho e chamando de y a quantidade de maçãs que você tem, vamos montar as equações:

X + Y = 35 (I)

Y = 2/5 . X (II)Dessa maneira, facilita usarmos o método da substituição para resolver esse problema. Vamos substituir (II) em (I).

X + Y = 35

X + (2/5.X) = 35

X + 0,4X = 35

1,4X = 35

X = 35/1,4

X = 25

Portanto, eu tenho 25 maçãs.

X + Y = 35

25 + Y = 35

Y = 35 – 25

Y = 10.

Portanto, você tem 10 maçãs.