Fatoração – O que é? Tipos, Exemplos, Fórmulas e Exercícios Resolvidos

Fatorar significa decompor em fatores, ou seja, escrevemos um número ou uma expressão como produto de fatores.

Esse recurso é empregado em cálculos algébricos, principalmente para simplificar expressões. Existem vários casos de fatoração, nos quais utilizamos cada um analisando as características do polinômio a ser fatorado.

Conheça, a seguir, os métodos algébricos para realizar a fatoração e veja exemplos de cada um desses casos.

Primeiro caso: fator comum em evidência

Caso você observe que em um determinado polinômio existe um fator comum, ou seja, um número ou uma incógnita que se repete, pode-se colocar esse fator comum em evidência.

Observe o exemplo abaixo:

• 2x² + 2xy

Nesse caso, temos que cada uma das parcelas possui o fator comum 2x. Vamos então colocá-lo em evidência:

• 2x (2x + y)

Outro exemplo: vamos fatorar a expressão 6x²y + 9x² + 12x. Observe que 3 é fator comum dos coeficientes 6, 9 e 12 e que x também é um fator comum de todas as parcelas.

Fatorando, teremos: 3x(2xy + 3x + 4).

Para verificar se a fatoração está correta, basta desenvolver o produto e observar se volta ao polinômio inicial.

Segundo caso: agrupamento

Observe o seguinte polinômio:

• ax + 2a + 5x + 10

Não existe fator comum nos quatro termos. Mas, podemos agrupá-los de forma convincente. Observe:

• a(x + 2) + 5(x + 2)

Veja que, agora, (x + 2) é fator comum – (a + 5).(x + 2). Ou seja, agrupamos alguns termos para que eles formassem fatores em comum.

Terceiro caso: trinômio quadrado perfeito

O quadrado da soma e o quadrado de uma diferença nos dão trinômios como resultado.

• (x+5)² = x² + 10x + 25
• (a-7)² = a² – 14a + 49

Do mesmo modo que podemos “abrir” esse quadrado perfeito, podemos fazer o caminho inverso.

• X² + 10x + 25

X² foi obtido fazendo o quadrado de x. 10x foi obtido pelo dobro do produto de x e 5. 25 foi obtido fazendo 5 ao quadrado.

Para descobrirmos isso, utilizamos as igualdades a seguir:

• (a+b²) = a² + 2.ab + b²
• (a-b)² = a² – 2ab + b²

Com isso, podemos fatorar qualquer trinômio apenas pensando da forma inversa.

Quarto caso: diferença de dois quadrados

Para realizar fatorações dessa maneira, vamos lembrar disso:

• x² – y² = (x + y) (x – y)

Dessa maneira, quando olhamos para expressões nas quais dois termos podem ser escritos como a diferença de dois quadrados, iremos utilizar esse caso de fatoração.

Observe a seguinte expressão:

• 16x² – 25

O fator 25 pode ser escrito como 5². 16x² também pode ser escrito como (4x)². Para descobrirmos isso, basta buscar a raiz quadrada de cada um desses termos, como é feito abaixo:

Quinto caso: soma de dois cubos

Para fazermos fatorações dessa maneira, precisamos lembrar da soma de dois cubos:

• a³ + b³ = (a + b). (a² – ab + b²)

Se em uma expressão você observar que dois fatores podem ter raiz cubica, esse caso de fatoração pode se encaixar perfeitamente.

Observe o exemplo:

• 125x³ + 8.

Podemos extrair a raiz cubica de 125x³ e de 8.  A raiz cúbica de 125x³ é 5x e a de 8 é 2. Portanto, podemos escrever essa expressão da seguinte maneira: 125x³ + 8 = (5x + 2)(25x² -10x + 4).

Sexto caso: diferença de cubos

O raciocínio é o mesmo do caso anterior. Porém, devemos lembrar da fórmula da diferença de dois cubos:

• X³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)

Veja um exemplo:

• 27x³ -125 = (3x –5)(9x² + 15x + 25)

Resumo do conteúdo

• Quadrado da soma: (a + b)² = a² + 2.a.b + b²
• Quadrado da diferença: (a – b)² = a² – 2.a.b + b²
• Produto da soma pela diferença: a² – b² = (a + b) . (a – b)
• Cubo da soma: (a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² +b³
• Cubo da diferença: (a – b)³ = a³ – 3.a².b + 3.a.b² – b³
• Soma entre dois cubos: a³ – b³ = (a + b) . (a² – a.b + b²)
• Diferença entre dois cubos: a³ – b³ = (a – b) . (a² + a.b + b²)

Exercícios resolvidos

1) Fatore os polinômios abaixo colocando algum fator em evidência:

A) x(x – 4) + 6(x – 4)

B) 3a(4a + 2) + 5(4a + 2)

C) (x +1)(x – 3) + 2(x+1)

RESPOSTA

A) Perceba que o termo (x – 4) está se repetindo nos dois termos. Vamos colocá-lo em evidência.

(x – 4)(x+6)

B) O termo (4a + 2) está se repetindo. Vamos colocá-lo em evidência (4a + 2)(3a + 5)

C) O termo (x + 1) está se repetindo, vamos então colocá-lo em evidência.

(x+1)[(x+3) + 2) = (x + 1)(x + 5)

2) Fatore as seguintes expressões usando agrupamento:

A) ab + 3b –7a –21

B) x² + xy + x + y

RESPOSTA

A) b(a+3) -7(a+3)

Surge um fator comum: (a+3).

(a+3) (b-7)

B) Colocando x em evidência e 1 também:

x(x+y) + 1(x+y)

Temos um fator comum agora: (x+y).

(x+1).(x+1).

3) Fatore as expressões a seguir:

A) 9x² + 60x + 100

B) x² -1

RESPOSTA

A) 9x² + 60x + 100 é um trinômio quadrado perfeito. Vamos utilizar aqui o segundo caso de fatoração.

9x² + 60x + 100 = (3X + 10)²

B) x² – 1 é a diferença entre dois quadrados, pois 1 pode ser escrito como 1².

X² -1 = (x + 1) (x – 1)