Função modular – Como calcular? Propriedades, Gráficos e Exercícios!

Chamamos de função modular a função f(x) = |x|, na qual seu domínio é dado pelos números reais e sua imagem são os números reais positivos. Isso ocorre porque, para todo valor negativo existente no eixo y, a função modular irá fazer com que |-y| = -(-y) = y. Portanto, o gráfico não apresenta reta no terceiro e quarto quadrante.

Os números inteiros são também chamados de números relativos, pois seus valores são determinados em relação ao número zero, que é a origem da reta numerada. Se a posição do número, à direita ou à esquerda do zero, for desconsiderada, tem-se o “valor absoluto” ou “módulo do número”.

Modulo do número real

O módulo do número real r é representado por | r | e é considerado r se r ≥ 0 ou –r se r ≤ 0.

Por exemplo:

• |2| = 2, porque, nesse caso, 2 > 0;
• |-2| = – (-2) = 2, porque –2 < 0.

Resumindo, o módulo de um número na reta real indica a distância desse número ao zero.

Função modular: o que é e como calcular?

Dado um número real x, sempre existe |x| e seu valor é único. Assim, temos uma função de domínio nos números reais e imagem nos números reais positivos, chamada função modular.

Definindo a função modular, temos que:Porém, para trabalharmos melhor com funções modulares, precisamos conhecer as propriedades do módulo.

Propriedades envolvendo módulo

Temos, como consequência da definição de módulo:

• |x| ≥ 0, ∀ x ∈ R;
• |X| = 0 ⇔ X = 0;
• |X| ≥ X, ∀ x ∈ R;
• |X| = |-X|, ∀ x ∈ R.

Considerando isso, podemos encontrar algumas propriedades do módulo para valores de x e y pertencentes aos números reais:

Gráfico da função modular

Podemos construir o gráfico de f(x) = |x| a partir do gráfico de g(x) = x, basta realizar uma reflexão da parte do gráfico de g(x), cujas imagens (valores que assumimos para y) sejam negativas.

A reflexão de um ponto (x, y) em torno do eixo Ox é o ponto (x, -y), assim, os valores de f(x) negativos se tornam positivos, e vice-versa.

No caso dos gráficos de funções modulares do tipo f(x) = |g(x)|, podemos obtê-los fazendo a reflexão da parte do gráfico de g(x), cujas imagens sejam negativas.De modo geral, podemos perceber que:

• O gráfico de uma função g(x) = |x| + k é congruente ao de f(x) > |x|, porém transladado para cima (quando k > 0) ou para baixo (quando k < 0). O número de unidades do deslocamento para cima ou para baixo é o valor absoluto de k;

• O gráfico de uma função h(x) = |x – m| é congruente ao de f(x) = |x|, porém transladado para a direita (quando m > 0) ou para a esquerda (quando m < 0). O número de unidades do deslocamento é o valor absoluto de m;

• O gráfico de uma função p(x) = |x – m| + k é congruente ao de f(x) = |x|, porém transladado para a direita ou para a esquerda (quando m > 0 ou m < 0) e para cima ou para baixo (k > 0 ou k < 0). O número de unidades dos deslocamentos são os valores absolutos de m e de k, respectivamente.

Exercícios resolvidos

1) Dada a função f(x) = |2x – 8|:

A) Calcule f(5), f(1), f(-4) e f(4).

B) Escreva f(x) com sentenças que não têm módulo.

RESOLUÇÃO:

A) f(5) = | 2 . 5 – 8| = |2| = 2

f(1) = |2 . 1 – 8| = |-6| = 6

f(-4) = |2 . (-4) – 8| = |-16| = 16

f(4) = | 2 . 4 – 8| = |0| = 0

B) Primeiro, vamos procurar o ponto onde o gráfico toca o eixo x, que ocorre quando y = 0:

2x – 8 = 0 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4

Agora, devemos analisar como a função irá se comportar para valores maiores e menores que 4:

X ≥ 4 ⇒ 2x – 8 ≥ 0 ⇒ f(x) = |2x – 8| = 2x – 8

X < 4 ⇒ 2x – 8 < 0 ⇒ f(x) = |2x –8| =  -(2x – 8) = -2x + 8

Portanto, podemos escrever a função da seguinte maneira: