Polinômios – O que são? Valor numérico, igualdade e raízes de polinômios

Registros em antigos papiros já apresentavam problemas com quantidades desconhecidas e alguns métodos de resolução. Por volta de 825, o matemático árabe al-Khowarizmi propôs uma organização de termos para chegar à solução de uma equação, inaugurando a “ciência das equações”.

Ao longo de 3 mil anos, diversos estudiosos desenvolveram gradualmente símbolos para representar as equações algébricas, e até hoje gostamos de utilizar o x.

O matemático italiano Paolo Ruffini confirmou que não existia fórmula para a resolução de equações de grau superior a 4. E o que veremos a seguir são polinômios e como encontrar as suas raízes.

Definição de polinômio

Chamamos expressão polinomial ou polinômio na variável complexa x toda expressão da forma:PolinômiosExemplos:

  1. a) p(x) = 5 é um polinômio de grau 0 ou polinômio constante;
  2. b) p(x) = 2x – 1 é um polinômio do 1º grau;
  3. c) p(x) = x² + 5x + 6 é um polinômio do 2º grau.

Para não ser expressão polinomial, o expoente da variável x não pode ser negativo ou fracionário e a variável x não pode estar no denominador ou aparecer sob radical.

Valor numérico, igualdade e raízes de polinômios

Considere o polinômio p(x) e o número real α. O valor numérico do polinômio p(x) para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos necessários. Então, p(α) é o valor numérico para p(x) para x = α.

Exemplo: O valor numérico de p(x) = -2x² – 3x + 5 para x = 4 é:

p(4) = 2(4)² – 3(4) + 5 = 25.

Logo, p(4) = 25.

  • Dois polinômios p(x) e q(x) são iguais se, e somente se, possuem coeficientes dos termos de mesmo grau iguais.

PolinômiosPara qualquer α pertencente aos complexos.

  • Se um número complexo α é tal que p(α) = 0, então esse número α é chamado de raiz do polinômio.

Exemplo: Dado o polinômio p(x) = -x² – 7x + 10, temos:

p(5) = 0 ⇒ 5 é raiz de p(x)

p(3) = 22 ⇒ 3 não é raiz de p(x).

Divisão de polinômios

Dados dois polinômios p(x) e h(x) não nulo, dividir p(x) por h(x) significa encontrar polinômios q(x) e r(x) que satisfaçam as duas condições:PolinômiosSendo:

  • p(x) é o dividendo;
  • h(x) é o divisor;
  • q(x) é o quociente;
  • r(x) é o resto.

Segundo, o grau de r(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de h(x) ou então r(x)=0.

Para efetuar a divisão de polinômios, usaremos o método da chave, semelhante ao empregado para números inteiros.

Para entender o método da chave, veja o seguinte vídeo e observe os exemplos:

Quando r(x) = 0 (o resto da divisão é igual a zero), dizemos que a divisão é exata e o polinômio p(x) é divisível pelos polinômios h(x) e q(x).Polinômios

Veja, a seguir, outro exemplo:Polinômios

 

Dispositivo prático: Briot-Ruffini

Usando o método da chave, podemos efetuar a divisão entre dois polinômios. Porém, há um dispositivo que permite efetuar as divisões dos polinômios do tipo (x – a) de uma maneira mais simples e rápida: o algoritmo de Briot-Ruffini. Esse método faz com que o resto seja sempre uma constante.

Vamos ver como funciona esse dispositivo efetuando a divisão de p(x) = 3x³ – 5x² + x – 2 por h(x) = x – 2.

Primeiramente, iremos montar o dispositivo:PolinômiosSendo:

  • O termo constante do divisor h(x) igual a –2, ele com sinal trocado será 2;
  • Os coeficientes de x do dividendo p(x) são 3, -5 e 1;
  • O termo constante do dividendo p(x) = -2.

Montaremos o dispositivo da seguinte maneira:PolinômiosAgora, repetimos ou “abaixamos” o primeiro coeficiente do dividendo:PolinômiosMultiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos o produto com o próximo termo do dividendo:PolinômiosRepetimos o processo para obter o novo termo do quociente:PolinômiosNo final, teremos:PolinômiosPelo resultado acima, temos:Polinômios

  • q(x) = 3x² + 1x + 3;
  • r(x) = 4;
  • h(x) = x – 2.

Logo, temos que:PolinômiosPara entender melhor, você pode assistir o seguinte vídeo:

Raízes de uma equação polinomial

Pelo Teorema do Fator, sabemos que se c é uma das raízes do polinômio p(x), consequentemente p(c) = 0. Além disso, temos:PolinômiosPortanto, (x – c) é um fator de p(x).

Ou seja: se (x-c) é fator de p(x), então c é raiz do polinômio p(x).

Sabemos encontrar facilmente raízes de equações do primeiro e segundo grau. Porém, verificou-se que o melhor jeito de encontrar essas raízes em equações de grau 3 ou 4 é fazendo estimativas. Existem, então, alguns métodos que ajudam nisso.

Podemos fazer a decomposição em fatores de primeiro grau. Ou seja:PolinômiosPortanto, se p(x) = 0, concluímos que:PolinômiosVeja, a seguir, os métodos que utilizamos para encontrar raízes nas equações até o quarto grau.

 

Raízes nas equações

  • Segundo grau

Dada a equação algébrica ax² + bx + c = 0, suas raízes x1 e x2 podem ser encontradas quando é satisfeito:Polinômios

  • Terceiro Grau

Dada a equação ax³ + bx² + cx + d = 0, suas raízes x1, x2 e x3 são encontradas quando é satisfeito:Polinômios

  • Equação de grau n

Dada a equação algébrica Polinômios

de raízes x1, x2, … , xn, são validas as seguintes relações, conhecidas como Relações de Girard:Polinômios

Natália Alves

Graduanda em licenciatura e bacharelado em Matemática pela Universidade Estadual Paulista (UNESP).

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