Grandezas diretamente e inversamente proporcionais – Exercícios Resolvidos!

Primeiramente, vamos definir que grandeza é algo que pode ser medido. Ou seja, comprimento, temperatura, tempo, massa e área são grandezas.

Existem grandezas que são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais e grandezas não proporcionais. Para entender esses conceitos, vamos estudar grandezas diferentes e suas proporcionalidades.

Proporcionalidade direta

Se duas grandezas são diretamente proporcionais, quando o valor da primeira é multiplicado por um número positivo, o valor da segunda também será multiplicado pelo mesmo número. Por exemplo:

1) O preço de frutas costuma ser diretamente proporcional ao número de frutas comprado. Se você vai ao supermercado, quanto mais maçãs você comprar, maior será o valor da sua compra.

Sabendo o preço de 3 maçãs, podemos encontrar o preço de 12 maçãs.

Primeiro, vamos organizar as informações do enunciado:

• 3 maçãs = R$5,00;
• 12 maçãs = ?.

Note que, de 3 para 12, o número 3 foi multiplicado por 4. Para encontrar esse número 4, basta fazer mentalmente 12 ÷ 3 = 4.

Como o número de maças é diretamente proporcional ao preço, basta também multiplicar o valor de 5 reais por 5.Preço: 5 . 4 = 20 reais.

Concluímos, então, que o preço de 12 maçãs é igual a R$20,00.

Vamos analisar outro exemplo:

2) Certo helicóptero pode percorrer 150 quilômetros em 0,5 hora. Mantendo essa velocidade, quantos quilômetros ele percorrerá em duas horas?

Aqui, o tempo gasto é diretamente proporcional à distância percorrida, ou seja, se o tempo dobrar, a distância também dobra; se o tempo triplicar, a distância também triplica.

Perceba: existe uma relação entre as duas grandezas. Se o tempo gasto for multiplicado por determinado número, a distância percorrida será multiplicada pelo mesmo número.

Para saber a distância percorrida em duas horas, basta fazer:

• 2 ÷ 0,5 = 4;
• 140 . 4 =

Completando a tabela, temos:Em tabelas com duas grandezas proporcionais, há relações multiplicativas tanto na “vertical” (como fizemos acima) quanto na “horizontal” (como vamos fazer no exercício resolvido, abaixo).

Exercício resolvido

1) Para fazer 6 bengalas de pão, o padeiro utiliza 1.800 gramas de farinha. Quanto ele gasta para fazer 5 bengalas?

RESPOSTA:

Temos que:

• 6 bengalas = 1.800g de farinha;
• 5 bengalas = ?.

É difícil, nesse caso, relacionar o número 5 com 6. Porém, podemos perceber que, ao multiplicar 6 por 300, obtemos 1.800 (6 . 300 = 1.800).

Portanto, para encontrar a quantidade de farinha necessária para fazer 5 bengalas, vamos também multiplicar 5 por 300.Nesse caso, fizemos uma multiplicação “na horizontal”. Essa também é uma maneira de resolver exercícios.

Grandezas não proporcionais

Devemos ter agora um pouco de atenção, pois nem sempre há proporcionalidade em uma situação. Vamos analisar o seguinte exemplo:

1) Em um jogo de futebol, caso o tempo de jogo triplique de 30 minutos para 90 minutos, o placar não irá obrigatoriamente triplicar também. Isso ocorre porque o tempo de jogo e o placar não são grandezas proporcionais.

Outro exemplo:

2) Nesse ano, você foi 5 vezes ao parque. No ano que vem, a quantidade de anos em questão irá dobrar, mas a quantidade de vezes que você irá ao parque pode ser maior ou menor que 10. Não podemos usar a matemática para prever quantas vezes você irá ao parque.

Grandezas inversamente proporcionais

Se duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o valor da primeira é multiplicado por um número positivo n, o valor da segunda é dividido por n (ou seja, seria o mesmo que multiplicar por 1/n). Exemplo:

1) O tempo de duração de uma viagem varia de acordo com a velocidade média de um veículo.

• 50km/h (velocidade média) = 100;
• 3 horas (tempo de viagem) = ?.

Duplicando a velocidade média do veículo, saímos de 50km/h para 100km/h. Portanto, multiplicamos 50 por 2.

Para descobrir o tempo de viagem, vamos dividir 3 por 2, obtendo que o tempo de viagem cai para 1,5h.

Aplicações da proporcionalidade

1) A escala de um mapa ou de uma planta indica a proporção (ou a razão) entre os comprimentos da representação e os comprimentos da realidade;2) Nos gráficos de setores, as medidas dos ângulos de cada setor são proporcionais às quantidades representadas em cada um;3) Nas pesquisas estatísticas, supõe-se que os resultados obtidos no grupo pesquisado (amostra) sejam proporcionais aos resultados que seriam obtidos se toda a população fosse pesquisada.