Geometria analítica – O que é? Conceitos, Fórmulas e Exercícios resolvidos

René Descartes relacionou a álgebra com a geometria em sua obra chamada Discurso do Método, na qual estabeleceu uma relação entre curvas do plano cartesiano e equações algébricas. Assim, o plano cartesiano e as coordenadas cartesianas acabaram recebendo esse nome como homenagem a ele.

A computação gráfica e seu desenvolvimento é um exemplo da aplicação da geometria analítica. Telas de computadores usam estruturas de planos cartesianos com uma quantidade finita de pixels, que determina a resolução das imagens. Conheça, a seguir, um pouco mais sobre a geometria analítica.

Geometria analítica: o que é?

Dividimos o estudo da geometria analítica em três categorias: ponto e reta circunferência, secções e cônicas. A seguir, iremos entender conceitos referentes a ponto e reta.

Conceitos e fórmulas

Distância entre dois pontos

Dado um ponto A de coordenadas (x₁, y₁) e dado um ponto B de coordenadas (x₂, y₂), a distância entre eles é dada por:

Ponto médio de um seguimento de reta

Dado um seguimento de extremidades A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂), a abscissa x e a ordenada y do ponto médio é dada por:

Coordenadas do baricentro de um triângulo

Dado um triângulo ABC de coordenadas A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) e C (x₃, y₃), determinamos as coordenadas do baricentro pelas seguintes expressões:

Condição de alinhamento de três pontos

Se três pontos A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) e C (x₃, y₃) estão alinhados, então o determinante da matriz que contém as coordenadas deve ser obrigatoriamente igual a zero.Caso o determinante seja diferente de zero, os três pontos não são colineares.

Coeficiente angular de uma reta

O coeficiente angular da reta r é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação, que é o ângulo que a reta faz com o eixo x.

Sendo α esse ângulo, dizemos que o coeficiente angular pode ser descrito como:Além disso, conhecendo dois pontos de uma reta, podemos determinar seu coeficiente angular sem conhecer esse ângulo. Sendo os pontos A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂) pertencentes à reta r, seu coeficiente angular é dado por:

Equações da reta

Considerando o coeficiente angular m da reta e dois pontos pertencentes à mesma, podemos escrever então sua equação. Essa equação pode ser escrita de diferentes modos, veja-os a seguir:Podemos ainda escrever a equação da reta na forma reduzida. Para montar essa equação, é preciso escolher o ponto em que a reta intersecta o eixo y, de coordenada (0, n). Chamamos esse número n de coeficiente linear e junto com o coeficiente angular, podemos montar essa equação da reta.Além disso, podemos utilizar a equação geral da reta:As letras a, b e c representam constantes. Para escrever a equação de uma reta dessa maneira, observe o exemplo abaixo:

Y – 3 = 5(x – 1) pode ser escrita da seguinte maneira:

Y – 3 = 5x –5

5x – y –2 = 0

Distância entre um ponto e uma reta

Para achar a distância entre uma reta r de equação ax + by + c = 0 e um ponto P (x_p, y_p), usamos a seguinte expressão:

Ângulo formado por duas retas

Vamos considerar duas retas concorrentes r e s, não perpendiculares entre si, e que possuem coeficientes angulares m₁ e m_2. Podemos calcular o ângulo entre elas a partir da seguinte fórmula:Para encontrar o ângulo, calcule o arc tg do valor obtido pela expressão acima. Você pode usar uma calculadora para isso.

Se as retas são paralelas, os coeficientes angulares são iguais. Ou seja: m1 = m2. Se forem retas perpendiculares, m1. m2 = -1.

Área de uma região triangular

Dado um triângulo ABC de vértices A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) e C (x₃, y₃), podemos calcular a sua área pela seguinte expressão:Sendo D o determinante da seguinte matriz, formada pelas coordenadas dos vértices A, B e C desse triângulo. Lembre-se: o valor do determinante está em módulo, portanto, considere sempre valores positivos.

Caso você não se lembre como é o cálculo do determinante de uma matriz, veja o vídeo a seguir:

Exercícios resolvidos

1) Determine a área de uma região triangular ABC, dados os pontos A ( -1, 2), B (3,1) e C (2,0).

Primeiramente, vamos calcular o determinante com as coordenadas dos vértices desse triângulo:Agora, vamos colocar esse valor na expressão que calcula a área.