Geometria espacial – Características, Figuras e Cálculos

A geometria pode ser dividia em três partes: plana, espacial e analítica. A geometria espacial, especificamente, é a área da matemática que tem como objetivo estudar as figuras que possuem três dimensões.

Nessas condições as figuras são compostas por comprimento, largura e altura. Por outro lado, a geometria plana é considerada bidimensional, de tal maneira que as figuras possuem apenas Altura e Largura.

Características da Geometria espacial

Como dito anteriormente, a preocupação da geometria espacial está no estudo das figuras geométrica. Essas são conhecidas como “sólido geométricos”. Alguns exemplos são: cubo, paralelepípedo, pirâmide, cone, cilindro e esfera.

Tais figuras podem ser classificadas em dois grupos: os corpos redondos e os poliedros.

Geometria espacial

As formas não poliedras ou corpos redondos são aquelas que apresentam em sua superfície, pelo menos, uma parte não plana, isto é, arredondada. Por outro lado, poliedros são figuras geométricas que têm sua superfície formada apenas por partes planas.

Um dos principais objetivos da geometria espacial é determinar, por meio de cálculos matemáticos, o volume e a área desses objetos. Vejamos alguns exemplos, a seguir.

Prismas

No dia a dia, convivemos com vários objetos que são exemplos de forma prismática. São chamados de prismas os poliedros que apresentam bases congruentes e paralelas; essas bases são poligonais.

Além dessas características, os prismas também são identificados por apresentarem arestas laterais que ligam as bases. Na figura, abaixo, é apresentado um prisma triangular e seus elementos. Essa classificação ocorre a partir do número de arestas de sua base.

Geometria espacial2

Veja, agora, outros exemplos de prismas com diferentes números de arestas da base.

Geometria espacial3

Prisma reto, oblíquo e seus elementos

A altura de um prisma representa a distância entre os planos que suas bases estão definidas, como mostra a figura.

Geometria espacial4

De acordo com a inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. À esquerda, um prisma é identificado como reto quando suas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contêm suas bases. Porém, à direita, quando as retas laterais não são perpendiculares aos planos que contêm suas bases o prisma é chamado de oblíquo. O volume do prisma é calculado pelo produto da área da base (Ab) pela altura (h), ou ainda V= Ab . h.

No prisma reto, a atura tem a mesma medida que a aresta lateral.

Paralelepípedo

Paralelepípedos são prismas que têm paralelogramo como base. Para compreender a fórmula do volume do prisma reto, observe a dedução da fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo:

V= a . b . c. Mas, a área da base é dada por Ab = a . b. Considerando que a altura do prisma reto é h = c, então, V = Geometria espacial5Ab.h.

Exemplo:

Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5cm de aresta da base, como mostra a figura, a seguir:

Geometria espacial6

Calculo:

  • Área da base

A base do prisma é um quadrado de lado 5cm. Desse modo, a área da base é dada por: Ab = a2 – Ab = 52 – Ab = 25cm2.

  • Área lateral

A planificação da superfície lateral é um retângulo de lados 7cm e 20cm. Assim, a área de superfície lateral é dada por: Al = 7.20 – Ab = 140cm2.

  • Área total

A área total é dada por: AT = 2.Ab + AL – AT = 2 . 25 + 140 – AT = 190cm2.

  • Volume

O volume é dado por: V = Ab . h – V= 25 . 7 – V = 145cm3.

Cubo

Uma forma geométrica conhecida desde a antiguidade, e amplamente usada pelo ser humano, é o cubo. O cubo é um prisma regular, limitado por 6 quadrados congruentes. Como mostra a figura, é um paralelepípedo, cujas dimensões são iguais, ou seja, a = b = c.

Geometria espacial7

A área total de um cubo de aresta a é dada pela área dos 6 quadrados de aresta a. Ou seja: ATotal= 6 . Aface – 6 . a2

O volume de um cubo de resta a é dado pelo produto da altura (aresta) pela área da base (face), ou seja, V = Ab . h – V= a2 . a – V = a3.

Como o cubo é um prisma retangular, a diagonal de um cubo de aresta a é:

Geometria espacial8

Exemplo:

Se a aresta de um cubo mede 3cm, então:

  • A área total é dada por: ATotal = 6 . a2 – ATotal = 6 . 32 – ATotal = 6 . 9 = 54cm2
  • O volume é dado por: V = a3 – V = 33 – V = 27cm3
  • A diagonal mede:

Geometria espacial9

Pirâmide

Uma pirâmide é um sólido delimitado por faces planas, cujas faces laterais são triângulos e a base é um polígono. Elas também podem ser classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base (pirâmide triangular, quadrangular, pentagonal e hexagonal). A área da superfície total da pirâmide é calculada pela soma da área da superfície da base com a área da superfície lateral: At = Ab + Al

O Volume de uma pirâmide corresponde a um terço do produto da área da base pela altura. Isto é:

Geometria espacial10

Exemplo:

Numa pirâmide quadrangular regular (quando sua base é um polígono regular), a aresta da base mede a =6cm. Sabendo-se que a altura da pirâmide é h = 4cm, calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide. Veja a figura, abaixo.

Geometria espacial11

Solução

A base da pirâmide é um quadrado. A partir disso, é possível determinar o valor de m tal que,

Geometria espacial12

Usando o Teorema de Pitágoras, o apótema da pirâmide (g) é dado por: g2 = h2 + m2, ou seja, g2 = 42 + 32 – g2 = 25 – g = 5cm.

A área lateral de uma das faces é:

Geometria espacial13

Portanto, a área lateral total é: Al = 4 . Af – Al = 4 . 15 – Al = 60cm2.

Área total é dada por: At = Al + Ab – At = 60 + 36 – At = 96cm2.

Finalmente, o volume é dado por:

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Referências utilizadas neste conteúdo:

Ana Maria de Oliveira, Manual de Matemática; São Paulo: DCL, 2005.
Bosquilha, Alessandra. Minimanualcompacto  de Matemática: Teoria e Prática: ensino fundamental. – 2 ed. ver. – São Paulo :Rideel, 2003.
Jackson Ribeiro, Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, Vol. 1, Ensino Médio. São Paulo, Scipione, 2010.


Pablo Diniz Batista

Pablo Diniz Batista

Graduado em Física e Filosofia, cursou mestrado e doutorado em Física Médica Aplicada à Medicina e Biologia pela Universidade de São Paulo. Atualmente, é professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico no Instituto Fede...

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