Leis de Kepler – Quais são? 1ª, 2ª e 3ª leis e Exercícios Resolvidos

A regularidade de certos fenômenos, como os dias, as noites, o nascer do sol, as fases da lua, os eclipses, entre outros eventos, fizeram com que cientistas concluíssem que os corpos celestes se organizavam de alguma forma, a ponto de comporem um grande sistema.

Kepler analisou os dados do astrônomo Tycho Brahe e formulou suas três leis, que tratam do movimento planetário. Quer saber como elas funcionam? Confira essas e outras informações a seguir, só no Gestão Educacional!

Leis de Kepler

Sistemas planetários

Primeiramente, surgiu a ideia de que o Sol e a Lua, como os demais astros, giravam em torno da Terra, pois o sol e a lua desaparecem de um lado e reaparecem do outro e as estrelas e constelações fazem trajetórias circulares.

Porém, era difícil explicar, a partir dessa perspectiva, o movimento de planetas visíveis a olho nu (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno). O primeiro sistema planetário foi o Sistema Geocêntrico, que, embora cheio de imperfeições, foi aceito por 14 séculos.

No século XVI, o astrônomo Nicolau Copérnico propôs o Sistema Heliocêntrico, no qual o Sol ocupava o centro do universo. A Terra seria um dos planetas que girava em torno do astro, em órbita circular (translação) e em torno de si próprio (rotação).

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O sol então está fixo no centro do universo e ao seu redor estão todos os planetas. Ele segue o esquema abaixo:

Leis de Kepler

O que são as Leis de kepler?

As suas três leis seguem o modelo heliocêntrico e são as seguintes:

  1. As órbitas dos planetas são elípticas e o Sol se localiza em um dos focos;
  2. Os seguimentos de reta traçados do Sol a qualquer planeta (raio vetor) descreve áreas iguais em tempos iguais;
  3. Os quadrados dos períodos de translação dos planetas são proporcionais aos cubos dos semieixos maiores de suas órbitas.

[VEJA TAMBÉM: QUAIS OS PLANETAS DO SISTEMA SOLAR?]

Primeira lei

Ao contrário do que sempre foi proposto, Kepler afirmou que as órbitas dos planetas não eram circunferências, algo que acabou não agradando a todos, pela falta de simetria, pois o sol ocupava um dos focos da elipse, enquanto o resto era simplesmente preenchido com vácuo.

A distância de um dos focos até o objeto, somada a distância do objeto até o outro foco, é sempre igual.

Observe a imagem, abaixo, para imaginar como seria a descrição da primeira lei.

Leis de Kepler

Segunda lei

Essa lei afirma que se as áreas A1 e A2 são iguais as variações de tempo Δt também são iguais.

Leis de Kepler

Os planetas, portanto, se movem com velocidades diferentes, dependendo da distância que eles estão do Sol.

Chamamos de periélio o ponto mais próximo do Sol, no qual o planeta orbita mais rapidamente, ou seja, tem movimento acelerado, atingindo sua Velocidade Máxima (Vmax).

De modo análogo, afélio é o ponto mais afastado do Sol, onde o planeta move-se mais lentamente, o que chamamos de movimento retardado, possuindo sua Velocidade Mínima (Vmin).

Leis de Kepler

No caso da Terra, o afélio ocorre em junho, quando a terra está a aproximadamente 152 milhões de quilômetros do Sol. Enquanto isso, o periélio ocorre em janeiro, quando a Terra está a 147 milhões de quilômetros do Sol.

Terceira lei

A Terceira lei, também chamada de Lei dos Períodos, determina que o quadrado do período de revolução (T²) de cada planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo da distância média (r³) desse planeta ao sol.

Em termos matemáticos, essa lei pode ser expressa por: T² = K.r³, sendo K uma constante de proporcionalidade.

Lembre-se que o período de revolução é o tempo que um planeta demora para dar uma volta completa em torno do Sol.

Terceira lei e velocidade orbital

As elipses que descrevem as trajetórias dos planetas têm excentricidades muito mais próximas de 0 do que de 1. São praticamente circulares!

A excentricidade da Terra tem medida igual a 0,017, sendo um dos planetas de órbitas mais circulares.

Portanto, embora elípticas, as órbitas dos planetas podem ser consideradas, com boa aproximação, circunferências.

Dessa forma, podemos estudar o movimento dos planetas de forma aproximada e determinar os valores de k de cada planeta.

Leis de Kepler

 

Com isso, podemos apresentar outra expressão para a Terceira Lei de Kepler:

Leis de Kepler

Sendo T o período de revolução do planeta, r o raio médio da órbita, M a massa do Sol e G a constante da gravitação universal, ou seja, G = 6,67 . 10-¹¹ N.m² / kg².

Considerando que a velocidade dos planetas seja uniforme, conseguimos ainda montar a expressão matemática que apresenta o que chamamos de velocidade orbital:

Leis de Kepler

Exercícios Resolvidos

1) O raio médio da órbita da Terra é de 1,5.10¹¹m e o da órbita de Júpiter é de 7,8.10¹¹m. Qual o período de revolução de Jupter em anos terrestres?

SOLUÇÃO:

Para evitar o cálculo de K, podemos aplicar a Terceira Lei de Kepler para a Terra e para Júpiter e dividimos membro a membro as duas equações. Com isso, cancelamos k e determinamos Tj.

1² = k.(1,5.10¹¹)³

Tj² = k.(7,8 . 10¹¹)³

Leis de Kepler

2) Determine a massa do Sol sabendo que o período de revolução da Terra em torno dele é de 1 ano e o raio médio da órbita terrestre é rt = 1,5.10¹¹m.

SOLUÇÃO:

Para obter a massa do sol em quilogramas, precisamos calcular o período de revolução da Terra em torno do Sol em segundos.

Vamos adotar que o dia tem 86.000 segundos e o ano tem 370 dias: T = 370.86.000 = 3,2.10^7s.

Da expressão da Lei de Kepler, faremos:

Leis de Kepler


Referências utilizadas neste conteúdo:

GASPAR, Alberto. Física: Volume Unico. São Paulo: Ática, 2011.


Natália Alves

Natália Alves

Graduanda em licenciatura e bacharelado em Matemática pela Universidade Estadual Paulista (UNESP).

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