Semelhantes de triângulos – O que são? Teorema fundamental, Casos e Exemplos

Dois triângulos são semelhantes quando a medida dos seus ângulos correspondentes é igual. Essa é uma característica que pode ser aplicada apenas aos triângulos, pois, para os outros polígonos serem semelhantes, além dos ângulos correspondentes congruentes, a medida dos lados também deve ser conferida, e é preciso, também, verificar se existe proporcionalidade entre elas.

Essa propriedade dos triângulos é usada para resolvermos diversos problemas, e há muitos séculos existem instrumentos para medir ângulos. Na astronomia e na navegação, por exemplo, é essencial saber usar esses instrumentos, bem como conhecer semelhança de triângulos. Topógrafos usam teodolitos para medir ângulos e distâncias e, junto com conhecimentos matemáticos, como os do texto a seguir, elaborar plantas e mapas.

Figuras semelhantes

Geralmente, quando dizemos que duas coisas são semelhantes, estamos falando que elas são parecidas. Na matemática, para duas figuras serem semelhantes, elas precisam ter ângulos correspondentes semelhantes (iguais) e lados com medidas proporcionais.

A semelhança entre figuras ocorre a partir de uma ampliação ou redução perfeita. Por exemplo: dois triângulos retângulos são sempre semelhantes. Seus ângulos são sempre iguais (60º) e seus lados aumentam ou diminuem todos proporcionalmente.

Dois cubos e círculos também são sempre semelhantes. Porém, nem sempre dois triângulos são semelhantes. Precisamos então estabelecer alguns critérios que precisam ser confirmados para dois triângulos serem iguais.

Semelhança de triângulos: o que é?

Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem duas condições:

  • As medidas dos lados que se correspondem são proporcionais;
  • As medidas dos ângulos que se correspondem são iguais.

Porém, para dois triângulos serem semelhantes, basta que os seus ângulos respectivos sejam iguais.  Mas lembre-se: essa propriedade só é válida para triângulos.

Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Os ângulos pintados da mesma cor são iguais.

Além disso, existe uma constante k chamada de razão de semelhança. Essa constante é o número usado para multiplicar a medida de todos os lados do triângulo ABC e assim obter a medida dos lados do triângulo DEF.

Veja que as medidas dos lados do triângulo ABC são a, b e c. Para o triângulo DEF ser semelhante a ABC, devemos multiplicar as medidas a, b, c pela constante k.

Portanto, analisando a figura abaixo, você verá que as medidas dos lados do triângulo DEF são k.a, k.b e k.c.  Semelhança de triângulosCaso você não conheça essa constante, mas saiba a medida de dois lados correspondentes, podemos estabelecer a seguinte relação para encontrá-la:Semelhança de triângulosRESUMINDO:

Como os dois triângulos são semelhantes, podemos afirmar que:

Semelhança de triângulossão ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida);

Semelhança de triângulos

 

são ângulos congruentes;

Semelhança de triângulos

 

são ângulos congruentes;

Os lados correspondentes são proporcionais, ou seja, existe um número real positivo k, tal que:Semelhança de triângulos

Teorema fundamental da proporcionalidade

Se uma reta paralela a um dos lados do triângulo corta os outros dois lados de um em dois pontos diferentes, os dois triângulos formados serão semelhantes.

Na figura abaixo, os triângulos ABC e ADE são semelhantes

Semelhança de triângulos

Ou seja, basta a reta DE ser paralela à BC que podemos concluir que os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

Outro caso especial desse teorema é o seguinte: se duas retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, dois triângulos semelhantes são formados. Observe a figura abaixo:Semelhança de triângulosO triângulo ABO é semelhante ao triângulo ODE.

Casos de semelhança de triângulo

Caso A.A. (ângulo – ângulo)

  • Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes.

Semelhança de triângulos

Caso L.A.L. (lado – ângulo – lado)

Para esse caso ocorrer, precisamos que:

1) Dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo;

2) Os ângulos internos formados por esses lados são congruentes.Semelhança de triângulos

Caso L.L.L (lado – lado – lado)

Se os três lados de um triângulo forem proporcionais com os lados correspondentes de outro triangulo, os dois são semelhantes.Semelhança de triângulos

Caso L.A.A (lado – ângulo – ângulo)

Para termos esse caso, os triângulos devem ter os ângulos opostos e adjacentes a um lado com a mesma medida. Além disso, esse lado desse ser proporcional ao lado do outro triângulo.Semelhança de triângulos

Caso A.L.A (ângulo – lado – ângulo)

Dois triângulos são semelhantes se existir um lado proporcional ao lado do outro triângulo. Além disso, os ângulos que tocam os extremos desse lado devem ser iguais.Semelhança de triângulos

Natália Alves

Graduanda em licenciatura e bacharelado em Matemática pela Universidade Estadual Paulista (UNESP).

Conheça Mais Sobre o Autor

Deixe seu Comentário

WebGo Content