Teorema de Laplace – O que é? Como calcular? Matriz, Cofator e Exercícios!

O Teorema de Laplace é utilizado para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Esse método consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores. O teorema é bastante utilizado quando precisamos calcular o determinante de uma matriz de ordem maior ou igual a três.

Em meados do século XVII, eram estudados os processos para a resolução de sistemas lineares de equações. Nesse período, iniciaram os estudos sobre a teoria de determinantes que conhecemos hoje. Atualmente, utilizamos determinantes para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.

Matriz quadrada e elementos de uma matriz

Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, a matriz A_m,n é quadrada quando m = n.

Matrizes possuem elementos que podem ser indicados pela linha e coluna em que estão, como mostra a figura abaixo:Para calcular o determinante de uma matriz pelo Teorema de Laplace, precisamos conhecer os conceitos de menor complementar e cofator.

Menor complementar do elemento

Considerando uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja a_ij um elemento de M, vamos definir o menor complementar do elemento a_ij e indicaremos ele por D_ij.

D_ij será o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz M. Observe o exemplo abaixo:Para calcular o menor complementar do elemento a₁₁ = 4, iremos suprimir a linha 1 e a coluna 1. Depois, calcularemos o determinante da matriz que se obtém após fazermos isso.

Cofator de um elemento

Um elemento a_ij de uma matriz M possui um cofator A_ij, indicado por:Ou seja, para encontrar o cofator A_ij de um elemento, basta multiplicar D_ij (menor complementar) por (-1)^i+j, sendo i o número da linha e j o número da coluna do elemento.

Observe os exemplos abaixo:Vamos calcular os cofatores dos elementos da linha 1: A11, A12 e A13.

O que é o Teorema de Laplace?

O determinante de uma matriz é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Para facilitar os cálculos, escolha a fila em que há uma maior quantidade de zeros. Em particular, se uma matriz tiver uma fila de zeros, seu determinante será zero.

Isto é:

a) Se escolhermos a coluna j da matriz M

b) Se escolhermos a linha i da matriz M

Observe o exemplo abaixo:

1. Calcule o determinante da matriz M:

Como essa matriz tem ordem n ≥ 3, é conveniente usar o Teorema de Laplace.

Primeiramente, devemos escolher a fila (linha ou coluna) que tiver a maior quantidade de zeros, para facilitar os cálculos. Observando a matriz, verifica-se que ela não possui nenhum zero. Podemos então escolher qualquer linha ou coluna.

Escolhendo a primeira linha, para encontrar o determinante dessa matriz, iremos multiplicar cada um dos 3 elementos da primeira linha pelo seu respectivo cofator. Depois, somaremos os valores obtidos:Vamos calcular agora os cofatores A11, A12 e A13:

O determinante será:

det M = 2 . (-28) + 3 . 53 + (-2) . (-23)

det M = -56 + 159 + 46

det M = 149

Exercícios resolvidos

1) Dada a matriz M

Calcule o seu determinante usando o Teorema de Laplace.

RESOLUÇÃO

Primeiramente, devemos escolher uma linha ou coluna que possua o maior número de zeros. Nesse caso, a coluna 1 possui três números 0, enquanto a coluna 3 possui apenas um número zero. Iremos então escolher a coluna 1 para o cálculo do determinante.

Det M = 3 . A₁₁ + 0 . A₂₁ + 0 . A₃₁ + 0 . A₄₁

Det M = 3 . A₁₁

Vamos agora calcular o cofator A₁₁, que é dado por:

Para isso, precisamos calcular o menor complementar D₁₁ do elemento a₁₁ = 3. Suprima a linha 1 e a coluna 1. Em seguida, calcule o determinante da matriz que restou.

Em seguida, multiplique o resultado do menor complementar por (-1)^i+j = (-1)¹⁺¹ = (-1)², encontrando finalmente o cofator A₁₁.

Assim, o determinante será:

Det = 3 . A₁₁ = 3 . 62 = 186.

Resumindo, o determinante foi calculado da seguinte maneira: