Fatorial de um número – O que é? Fórmulas, Simplificações e Exercícios

A fatorial de um número n! será o produto dos números inteiros consecutivos menores e igual a n. Indicamos por n! e lemos “fatorial de n” ou “n fatorial”.

Desde a antiguidade, usamos esse método para alterar a posição de elementos, com a finalidade de criptografar uma mensagem. A seguir, veja a definição e como usar o fatorial de um número.

O que é fatorial de um número?

Definimos fatorial de um número como:Exemplos

• Fatorial de 0: 0! = 1;
• Fatorial de 1: 1! = 1;
• Fatorial de 2: 2! = 2 . 1 = 2;
• Fatorial de 3: 3! = 3 . 2 . 1 = 6;
• Fatorial de 4: 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24;
• Fatorial de 5: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120;
• Fatorial de 6: 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720;
• Fatorial de 7: 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040;
• Fatorial de 8: 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320;
• Fatorial de 9: 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880;
• Fatorial de 10: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 3.628.800.

Além disso, podemos escrever: n! = N . (n – 1). Isto é, por exemplo: 15! = 15 . 14!

Fórmulas da análise combinatória que usam fatorial

Em análise combinatória, usamos o fatorial para resolver exercícios de permutação, arranjo e também combinação.

• Permutação simples:

• Arranjo Simples:

• Combinação:

Operações com fatoriais

Para realizar as operações com fatoriais, devemos primeiro resolver o produto. Veja, a seguir, alguns exemplos:

• Soma: 5! + 3! = (5 . 4 . 3 . 2 . 1) + (3 . 2 . 1) = 120 + 6 = 126;
• Subtração: 5! – 4! = (5 . 4 . 3 . 2 . 1) – (4 . 3 . 2 . 1) = 120 – 24 = 96.

Nesse momento, poderíamos até pensar erroneamente que 5! – 4! = 1! = 1. Vimos acima que isso não é verdade.

• Multiplicação: 2! . 4! = (2 . 1) . (4 . 3 . 2 . 1) = 2 . 24 = 48.
• Divisão: no processo de divisão, podemos simplificar, como faremos abaixo:

Simplificações

O único momento em que é possível simplificar fatoriais, como vimos acima, é no processo de divisão. Portanto, podemos dizer que:Iremos utilizar isso também no exemplo abaixo:Isso pode ser usado em todos os exercícios que envolvam divisão de dois fatoriais iguais.

Exercícios resolvidos

1) Se (n + 4)! + (n + 3)! = 15(n + 2)! Então:

1. a) n = 4
2. b) n = 3
3. c) = n = 2
4. d) n = 1
5. e) n = 0

Resolução:

(n + 4)! + (n + 3)! = 15(n + 2)!

(n + 4) (n + 3) (n + 2)! = 15(n + 2)!

(n + 4) (n + 3) = 15

n² + 8n + 15 = 15

n² + 8n = 0

Encontrando as raízes dessa equação do segundo grau, temos que:

n = 0 ou n = -8. Nesse caso, a alternativa que convém é a alternativa e.

2) Quantos são os números de quatro algarismos que podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de quatro algarismos distintos?

Resolução:

Quando os algarismos podem se repetir, podemos ter números como 2222, 6688, e assim por diante.

Portanto, podemos formar: 4 . 4 . 4 . 4 = 256 números.

Porém, para calcular números de quatro algarismos distintos, vamos utilizar o fatorial: 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 números.

Portanto, formamos 256 números com os algarismos 2, 4, 6 e 8. Entretanto, sem repetir, podemos formar 24 números com esses mesmos algarismos.

3) Quantos são os anagramas da palavra amor?

Resolução:

Fazendo a permutação das quatro letras dessa palavra, ou seja, trocando-as de lugar, teremos: 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas.