Números complexos – O que são? Conjunto, Operações, Exemplos, Exercícios

Com o tempo, matemáticos físicos e engenheiros começaram a precisar de um novo conjunto numérico para entender vários fenômenos da matemática. Foi assim que surgiram os primeiros trabalhos feitos por Girolamo Cardano para a elaboração do conjunto dos números complexos.

Leonhard Euler foi um matemático suíço que contribuiu para melhorar a simbologia dos números complexos, atribuindo i para substituir o número √-1. Esse número contribuiu para a resolução de diversos problemas e, atualmente, os números complexos são utilizados em várias áreas da ciência, como mecânica dos fluídos, hidrodinâmica, eletrostática e teoria quântica. Veja, a seguir, o que são números complexos e como utilizá-los.

O que são os números complexos?

Entre os conjuntos numéricos que já conhecemos, tínhamos inicialmente o conjunto dos números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais.

Unindo o conjunto dos números racionais com os números irracionais, surgem os números reais R.

Vamos tentar achar a solução para o seguinte problema:

X² + 1 = 0

X² = -1

X = ±√-1

Sabemos que, se x ∈ R, então x² ≥ 0. Assim, essa equação não tem solução nos números reais, ou seja, não existe número real x elevado ao quadrado que resulte em -1.

Por isso, temos de estender o conjunto dos números reais para obter um conjunto chamado de números complexos (C).

Conjunto dos números complexos

O conjunto dos números complexos é um conjunto do qual podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo.

Os números reais são elementos dos números complexos, ou seja, os reais são subconjunto dos números complexos.

A notação que usamos para definir os números complexos z é a forma algébrica ou a forma binomial: z = a + bi – sendo a ∈ R e b ∈ R (pertencentes aos reais R).

Observe que um número complexo escrito dessa forma tem duas partes: uma parte real e uma parte imaginária, como mostra a imagem abaixo:i é a unidade imaginária, tal que i² = -1. É exatamente a existência disso que permite, nesse conjunto, que exista a raiz de um número negativo.

Por exemplo, se x ∈ C e x² = -1, então x = ±1i, -1 = (i²).1 = (1i)².

Assim, conseguimos resolver o problema que observamos no começo!

Denominações para números imaginários:

• Se um número complexo tem unidade imaginaria (b≠0), ele é chamado de imaginário;
• Se b=0, temos que z = a, então z é um número real;
• Se a = 0 e b≠0, temos que z = bi, então z é um imaginário puro.

Operações com números complexos

Usando a forma algébrica que vimos acima, podemos fazer adição, subtração e multiplicação entre números complexos, basta aplicar a propriedade distributiva usada em multiplicação de binômios.

Veja os exemplos abaixo:

• Adição: (2 + 3i) + (-3+4i) = (2-3) + (3i+4i) = -1+7i;
• Subtração: (1+i) – (3+2i) = (1-3) + (1i-2i) = -2 –i;
• Multiplicação: (1+2i) . (2-3i) = (1.2) + (1.(-3i)) + (2i.2) + (2i.(-2i)) = 2 – 3i + 4i -6i² = 8+i (lembre-se que i² = -1).

Conjugado, potência e igualdade de um número complexo

• O conjugado de um número complexo z = a + bi é dado por:

• Dois números complexos z = a + bi e w = c + di são iguais se e somente se a=c e b=d.

Potências de i com expoentes inteiros podem assumir apenas 3 valores:A partir disso, esses valores começam a se repetir. Portanto, para saber o resultado de i elevado a um número qualquer, faça:

Módulo e forma trigonométrica de um número complexo

Dado um número complexo z = a+bi, dizemos que o seu módulo é calculado por:Esse módulo é também chamado de argumento de z.

Para encontrarmos a forma trigonométrica de um número complexo, utilizamos a seguinte fórmula:Sendo:

• 0 ≤ θ ≥ 2π
• cos θ = a \ |z| (a dividido pelo módulo de z)
• Sen θ = b / |z|

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

A potência z^{n (}sendo n um número real positivo) é dada pela fórmula de Moivre, que veremos a seguir:Para n = 0, z⁰ = 1.

Exercício resolvido

1) Determine a forma trigonométrica do seguinte número complexo z = 1 + i

RESOLUÇÃO:

Se z = 1+1, temos que a=1 e b=1

|z| = √(1²+1²) = √2

Calculando o argumento θ, teremos:

cos θ = 1/√2 = √2/2

Sen θ = 1/√2 = √2/2

Com isso, sabemos que o ângulo em que o seno e o cosseno resultam em √2/2 é o ângulo θ = π/4. Caso você tenha dificuldade nisso, use uma calculadora científica e calcule o arcsen √2/2 ou o arccos √2/2, e confira nosso conteúdo completo sobre seno, cosseno e tangente, clicando aqui.

Assim, a forma trigonométrica de z é dada por:

Z = √2.(cos π/4 + i.sen π/4).