Semelhança de figuras – O que é? Como saber se figuras são semelhantes?
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Figuras congruentes também são semelhantes.
Quando projetamos um slide em uma tela, por exemplo, a imagem projetada geralmente tem o tamanho diferente da original, mas conserva a mesma forma. Dizemos que a figura que aparece na tela é semelhante à original.
As fotocopiadoras também reproduzem cópias em tamanho ampliado ou reduzido, mas mantendo a forma do original. Para obter na fotocopiadora uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos digitar 150%, pois a ampliação deverá ser igual à original (100%) aumentado de 50%. Querendo uma redução de 25%, digitamos 75%, que corresponde à original (100%), diminuindo 25%.
Ampliando ou reduzindo imagens em uma fotocopiadora, estamos obtendo figuras semelhantes às originais.
Polígonos semelhantes
Em papel quadriculado, é fácil obter ou reduzir figuras. Abaixo, ampliamos um polígono em 400%.
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras.png)
Os ângulos A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são chamados ângulos correspondentes. Observe que eles são congruentes (têm a mesma medida).
Os pares de lados AB e A’B’, BC e B’C’, CD e C’D’, AD e A’D’ são chamados lados correspondentes. Eles são proporcionais:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras2.png)
Concluímos, assim, que o polígono ABCD é semelhante ao polígono A’B’C’D, e indicamos essa semelhança da seguinte forma: ABCD ~ A’B’C’D.
Nesse caso, dizemos que a razão de semelhança K entre o polígono ampliado (A’B’C’D) e o polígono original (ABCD) é 4. Isto é, qualquer lado do polígono A’B’C’D tem por medida o quadruplo da medida do seguimento correspondente em ABCD. Portanto, a razão de semelhança dessa ampliação é k = 4.
Com isso, podemos afirmar que dois polígonos são semelhantes quando:
- Os lados correspondentes são proporcionais;
- Os ângulos correspondentes são congruentes.
Área e perímetro de figuras semelhantes.
A razão entre o perímetro de duas figuras semelhantes é a razão de semelhança k. Enquanto isso, a razão entre a área de duas figuras semelhantes é k².
Por exemplo, calculando a área das figuras abaixo, temos que:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras3.png)
AABCD = 8 e AA’B’C’D’ = 128. A razão entre as duas áreas será igual ao quadrado da razão de semelhança:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras4.png)
Encontramos exatamente a razão de semelhança k = 4. Agora, observe as figuras abaixo:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras5.png)
O segundo polígono é uma ampliação do primeiro. Para encontrar a razão de semelhança dessa ampliação, vamos calcular a razão de seus perímetros:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras6.png)
Semelhança aplicada a triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando a medida de seus ângulos correspondentes é igual. Essa é uma característica que pode ser aplicada apenas aos triângulos, pois para os outros polígonos serem semelhantes, além dos ângulos correspondentes congruentes, a medida dos lados também deve ser conferida, e é preciso verificar se existe proporcionalidade entre eles.
Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Os ângulos pintados da mesma cor são ângulos correspondentes e também são congruentes.
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras7.png)
Além disso, os lados correspondentes, consequentemente, são proporcionais.
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras8.png)
Nesse caso, são proporcionais pois se relacionam pela razão de semelhança k.
As medidas dos lados do triângulo ABC são a, b e c. Para o triângulo DEF ser semelhante a ABC, devemos multiplicar as medidas a, b e c pela constante k. Portanto, as medidas dos lados do triângulo DEF são k.a, k.b e k.c.
Como os dois triângulos são semelhantes, podemos afirmar que:
- A e D são ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida);
- B e E são ângulos congruentes;
- C e F são ângulos congruentes;
- A razão entre as alturas correspondentes é k;
- A razão entre duas medianas correspondentes é k;
- A razão entre duas bissetrizes correspondentes é k;
- Os lados correspondentes são proporcionais, ou seja, existe um número real positivo k, tal que:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras9.png)
Teorema fundamental da semelhança
“Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que cruza os outros dois lados em dois pontos distintos determina um triângulo semelhante ao primeiro”.
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras10.png)
No triângulo ABC, temos:
- DE // CA;
- AB // GF.
Com isso, de acordo com o Teorema Fundamental da semelhança, os triângulos CGF, DEB e ABC são semelhantes.
Casos de semelhança de triângulos
1° CASO: A. A. (ÂNGULO, ÂNGULO)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então esses triângulos são semelhantes:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras11.png)
2° CASO: L.A.L (LADO, ÂNGULO, LADO)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes:
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras12.png)
3° CASO: L.L.L. (LADO, LADO, LADO)
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.
![Semelhança de figuras](https://www.gestaoeducacional.com.br/wp-content/uploads/2019/11/Semelhanca-de-figuras13.png)
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