Relações métricas do triângulo, do círculo e da circunferência

Por Natália Alves em 12/07/2019, às 10:07

Em trigonometria, muitas vezes nos deparamos com problemas que nos pedem informações a respeito dos lados de um triângulo. Para descobrir essas informações usamos as relações métricas em triângulos. O mesmo pode ocorrer quando temos cordas, retas secantes ou retas tangentes em circunferências.

Relações métricas são expressões que relacionam a medida dos lados de um triângulo ou os seguimentos de uma circunferência. Veja, a seguir, quais são e como utilizá-las.

Relações métricas no triângulo retângulo

Vamos considerar um triângulo ABC, retângulo em A e o seguimento AD perpendicular ao lado BC, como mostra a figura abaixo:Primeiro, vamos definir cada um dos seguimentos desse triângulo:

BC = hipotenusa = a;
AC = cateto = b;
AB = cateto = c;
BD = projeção do cateto c sobre a hipotenusa = m;
CD = projeção do cateto b sobre a hipotenusa = n;
AD = altura relativa a hipotenusa = h.

A altura h traçada nesse triângulo o separa em outros dois triângulos retângulos, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triangulo ABC. Veja:Sabemos que dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos correspondentes congruentes. Portanto, podemos dizer que os triângulos são semelhantes:

ΔABC ~ ΔDBA ~ ΔDAC *Lembre-se: o sinal (~) quer dizer “semelhante”.

Observe os ângulos dos triângulos e veja a semelhança entre eles, por terem ângulos congruentes.

O sinal (Δ) quer nos informar que estamos tratando, nesse caso, de um triângulo.

Agora, usando essa semelhança, iremos mostrar quais são as relações trigonométricas.

Da semelhança entre ΔABC e ΔDBA, podemos concluir que:

Como AB = c, DB = m, BC = a, BA = c, temos:

Disso, temos nossa primeira relação:

Da semelhança entre ΔABC ~ ΔDAC, teremos:

Como DA = h e AC = b, teremos:A segunda relação será:Continuando com esse método, teremos as outras relações:A terceira relação será:

Da semelhança ΔDBA ~ ΔDAC, temos:

A quarta relação será:

Somando membro a membro, a primeira e terceira relação, teremos:

Portanto, a quinta relação será o próprio Teorema de Pitágoras.

A primeira e quinta são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo.
A primeira e terceira podem ser generalizadas como: cateto² = hipotenusa, projeção, ou seja, são praticamente as mesmas.

Resumindo, teremos:

Relações métricas em um triângulo qualquer

Existem duas relações métricas que se aplicam a qualquer triângulo: lei dos cossenos e a lei dos senos. Veja, abaixo, as duas relações.

Lei dos senos

Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:

Lei dos cossenos

Em um triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam. Ou seja:

a² = b² + c² – 2bc . cos A;
b² = a² + c² – 2ac . cos B;
c² = a² + b² – 2ab . cos C.

Relações métricas na circunferência

Vamos primeiramente definir três elementos da circunferência:

Corda: seguimento que liga dois pontos na circunferência;
Seguimento secante: uma das extremidades é um ponto fora da região circular;
Seguimento tangente: seguimento que está sobre a circunferência.

A seguir, veremos as relações métricas na circunferência.

Cruzamento de duas cordas

Em toda circunferência, se duas cordas se cruzam, o produto das medidas de duas partes de uma é igual ao produto das medidas de duas partes de outra.

Ou seja, podemos dizer que:

Dois seguimentos secantes a partir de um mesmo ponto

Em toda circunferência, se traçarmos dois seguimentos secantes a partir de um ponto, o produto da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida de sua parte externa.

Ou seja, podemos dizer que:

Seguimento secante e seguimento tangente a partir de um mesmo ponto

Em toda circunferência, quando traçamos a partir de um mesmo ponto um seguimento tangente e um seguimento secante, o quadrado da medida do seguimento tangente é igual ao produto da medida do seguimento secante pela medida de sua parte externa.

Ou seja, isso quer dizer que: