Relações métricas do triângulo, do círculo e da circunferência

Em trigonometria, muitas vezes nos deparamos com problemas que nos pedem informações a respeito dos lados de um triângulo. Para descobrir essas informações usamos as relações métricas em triângulos. O mesmo pode ocorrer quando temos cordas, retas secantes ou retas tangentes em circunferências.

Relações métricas são expressões que relacionam a medida dos lados de um triângulo ou os seguimentos de uma circunferência. Veja, a seguir, quais são e como utilizá-las.

Relações métricas no triângulo retângulo

Vamos considerar um triângulo ABC, retângulo em A e o seguimento AD perpendicular ao lado BC, como mostra a figura abaixo:Relações métricasPrimeiro, vamos definir cada um dos seguimentos desse triângulo:

  • BC = hipotenusa = a;
  • AC = cateto = b;
  • AB = cateto = c;
  • BD = projeção do cateto c sobre a hipotenusa = m;
  • CD = projeção do cateto b sobre a hipotenusa = n;
  • AD = altura relativa a hipotenusa = h.

A altura h traçada nesse triângulo o separa em outros dois triângulos retângulos, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triangulo ABC. Veja:Relações métricasSabemos que dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos correspondentes congruentes. Portanto, podemos dizer que os triângulos são semelhantes:Relações métricas

  • ΔABC ~ ΔDBA ~ ΔDAC *Lembre-se: o sinal (~) quer dizer “semelhante”.

Observe os ângulos dos triângulos e veja a semelhança entre eles, por terem ângulos congruentes.

O sinal (Δ) quer nos informar que estamos tratando, nesse caso, de um triângulo.

Agora, usando essa semelhança, iremos mostrar quais são as relações trigonométricas.

  • Da semelhança entre ΔABC e ΔDBA, podemos concluir que:

Relações métricasComo AB = c, DB = m, BC = a, BA = c, temos:Relações métricasDisso, temos nossa primeira relação:Relações métricas

  • Da semelhança entre ΔABC ~ ΔDAC, teremos:

Relações métricas

Como DA = h e AC = b, teremos:Relações métricasA segunda relação será:Relações métricasContinuando com esse método, teremos as outras relações:Relações métricasA terceira relação será:Relações métricas

  • Da semelhança ΔDBA ~ ΔDAC, temos:

Relações métricas

A quarta relação será:Relações métricas

  • Somando membro a membro, a primeira e terceira relação, teremos:

Relações métricas

Portanto, a quinta relação será o próprio Teorema de Pitágoras.

  • A primeira e quinta são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo.
  • A primeira e terceira podem ser generalizadas como: cateto² = hipotenusa, projeção, ou seja, são praticamente as mesmas.

Resumindo, teremos:Relações métricas

Relações métricas em um triângulo qualquer

Existem duas relações métricas que se aplicam a qualquer triângulo: lei dos cossenos e a lei dos senos. Veja, abaixo, as duas relações.

Lei dos senos

Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:Relações métricas

Lei dos cossenos

Em um triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam. Ou seja:

 

  • a² = b² + c² – 2bc . cos A;
  • b² = a² + c² – 2ac . cos B;
  • c² = a² + b² – 2ab . cos C.

Relações métricas

Relações métricas na circunferência

Vamos primeiramente definir três elementos da circunferência:

  • Corda: seguimento que liga dois pontos na circunferência;
  • Seguimento secante: uma das extremidades é um ponto fora da região circular;
  • Seguimento tangente: seguimento que está sobre a circunferência.

Relações métricas

A seguir, veremos as relações métricas na circunferência.

Cruzamento de duas cordas

Em toda circunferência, se duas cordas se cruzam, o produto das medidas de duas partes de uma é igual ao produto das medidas de duas partes de outra.

Ou seja, podemos dizer que:Relações métricas

Dois seguimentos secantes a partir de um mesmo ponto

Em toda circunferência, se traçarmos dois seguimentos secantes a partir de um ponto, o produto da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida de sua parte externa.

Ou seja, podemos dizer que:Relações métricas

Seguimento secante e seguimento tangente a partir de um mesmo ponto

Em toda circunferência, quando traçamos a partir de um mesmo ponto um seguimento tangente e um seguimento secante, o quadrado da medida do seguimento tangente é igual ao produto da medida do seguimento secante pela medida de sua parte externa.

Ou seja, isso quer dizer que:Relações métricas

Exercícios resolvidos

1) Calcule o valor de x na figura abaixo:Relações métricasRESPOSTA:

c² = am

2² = 4x

X= 1

2) Determine o valor de x na figura abaixo:Relações métricasRESPOSTA:

PA . PB = PC . PD

(14+4) . 4 = (x+x) . X

72 = 2x . X

2x² = 72

X² = 36

X = 6

Natália Alves

Graduanda em licenciatura e bacharelado em Matemática pela Universidade Estadual Paulista (UNESP).

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